miércoles, 19 de agosto de 2015

El delirio de un enfermo


Como no hay mejor manera de entretener nuestros ocios que con las matemáticas vamos a discurrir hoy sobre algo que me viene a la mente estos días: El infinito.
Este es un concepto apasionante. Quizás no nos damos cuenta de que en matemáticas nos lo encontramos por todas partes. Ya en el concepto de número natural o entero aparece, como la posibilidad de contar sin límite, gracias a nuestro sistema de numeración. Quizás los antiguos no tenían muy clara esta idea, aunque en Arquímedes ya aparece claramente. Digo que los antiguos quizás no tenían ese concepto porque sus sistemas de numeración eran pesados y limitados. Pensemos, por ejemplo, en la numeración romana. Los grandes números son ya casi imposibles de escribir y de pensar en ese sistema. Por supuesto, es fácil imaginar que, dado cualquier número, siempre podemos añadir "más uno". Nada nos lo prohibe. Aquí me viene a la cabeza lo del principio de inducción, tan matemático, "si algo es cierto para un determinado número y lo es para el siguiente..." entonces es cierto para "todo n". Eso del orden y la sucesión, todo montado sobre esa cadena irrompible e inacabable de los números naturales es el mismo nervio de las matemáticas.
Hay como dos o tres clases de infinito, me parece a mí. Una primera clase pertenece a la de los números naturales y significa que no hay un último número. Euclides demostró ya en la antigüedad que no solo no hay un último número, sino que los números primos, que no son todos los números, sino solo algunos y cada vez más escasos, según vamos avanzando en la cuenta, también son infinitos.
Otra clase de infinito viene dada por los números racionales, un infinito como local, que podríamos enunciar así: En un intervalo cualquiera, entre dos números cualesquiera por próximos que estén, podemos intercalar infinitos número racionales. Pensemos, por ejemplo, cómo entre el cero y el 1 caben las infinitas fracciones propias que puedas imaginar: 1/2, 1/3, 1/4,...367/368,...
Pero aún así, el conjunto de estos infinitos elementos es "discreto", es decir, hay distancia o salto entre cada dos fracciones por infinitamente próximas que estén. Además es "enumerable"; es decir, se pueden nombrar y ordenar fácilmente para cualquier conjunto de números dados. Se suele decir que no "llenan" los infinitos puntos de la recta "real".
Y por fin viene la última clase de infinitos, la de los números "irracionales". Aquí sí que entramos en el "misterio". Esta clase de números ya conmovió las ideas matemáticas en la antigüedad con la aparición de las magnitudes "incomensurables", como la raíz de 2 o el número Pi. Se trata de un conjunto "denso", "continuo", absolutamente infinito, que diríamos que no solo "llenan" la recta real, sino todo el espacio. Son la base misma de toda la matemática creada desde el siglo XVII hasta nuestros días. Ahí juega un papel extraordinario la noción de límite, verdadero pilar de todo el que luego se llamó Análisis, que apareció con el cálculo de sucesiones y series. Aquí aparece la noción de "infinitésimo" que ha traído al retortero a tantos estudiantes y que quizás sea la noción más difícil de captar y manejar.
Podríamos decir que el conjunto de los números reales está formado por un "océano" de números irracionales donde flotan dispersos los números racionales y enteros, que, sin embargo, también son infinitos.
Bien, todo esto a propósito de la noción de infinito en matemáticas. Para terminar se nos viene a la cabeza nuevamente aquella pregunta de si la "continuidad" es algo "natural", real, objetivo, o una mera noción nuestra, una especie de definición, un "sueño de la razón".

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